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Profondeur pour un plongeon ou saut à la verticale , trajectoire dans l'air et vitesse dans l'eau


Je me suis demandé récemment quelle était la profondeur d'eau minimale nécessaire pour effectuer un plongeon (ou un saut) à la verticale sans vitesse initiale dans un plan d'eau. J'ai cherché sur le net mais je n'ai pas trouvé de formules analytique pour ce problème. Peut être que j'ai pas cherché suffisamment longtemps.Toujours est-il que j'ai tenté de répondre à cette question dans la page qui suit.


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Formule


Exemples


  
tracé des trajectoires y=f(x) dans l'air et vues précédemment                      
plongeon sans vitesse suivant Oy (courbe noire) ,plongeon                             
avec une vitesse initiale suivant Oy(courbe bleue) abcisses                              
et ordonnées en mètre.



Exemple:Evolution de la vitesse en m/s(courbe f(x) en trait noir) et de la 
profondeur atteinte en mètre(courbe g(x) en trait bleu) en fonction du
temps en seconde pour un plongeon d'une hauteur H= 10 m.


Le freinage est assez brutal et la vitesse tend de façon asymptotique et très rapidement vers une vitesse limite(3.2 km/h).

Calculons la profondeur h atteinte pour que la vitesse soit égale à 1% seulement au dessus de la vitesse limite pour différentes hauteur H de plongeon:

(V-Vlim)/Vlim=1%.

Cette vitesse est atteinte au bout du temps t1=C/(A*B)^0.5+3.788=C/0.701 + 3.788

t1 est peu différent de 5*T=3,56 s.
H(m)        1               3             5                 10                     20            25

C          -0.216          -0.115      -0.086          -0.060              -0.041        -0.036

V1(m/s)   4.25            7.66         10                14                    19.9         22.4

t1(s)        3.42            3.62         3.66              3.7                   3.73         3.74

h(m)        4.4             5.2           5.5                6                      6.4           6.7

En traçant h=f(ln(H)) on obtient une droite de régression :





Donc pour un plongeon avec une vitesse initiale et un angle de 45 ° :
On obtient la profondeur atteinte en mètre h=0.743*Ln(H) + 3.87 où H est la hauteur du plongeon (ou saut) par rapport à la surface du plan d'eau.




On présente dans le cas général d'un plongeon avec vitesse initiale faisant un angle alpha avec l'horizontale la solution numérique par la méthode de Runge Kutta.Les champs nécessaires au calcul sont ceux déjà renseignés et sont modifiables.

Simulation numérique(méthode de Runge Kutta)

Dans l'air :

Hauteur du plongeon (ou saut)   Vitesse initiale Vo     Angle alpha de Vo avec l'horizontale en degré

m                         km/h            

Deplacement horizontal dans l air:
metre


Dans l'eau :

Vitesse de rentrée dans l'eau    Angle béta avec le plan d'eau
km/h                  degré

Caracteristiques Force de trainée :

Masse volumique de l'eau:   Coefficient Cx     Surface de référence  en m2
kg/m3                                   

Poussée d'Archimède :

Volume du corps du plongeur    Poids du plongeur
litre                      kg


RESULTATS :

Temps                              Vitesse                   Profondeur verticale atteinte
seconde     m/s    mètre

Déplacement horizontal dans l eau 
mètre

Graphique :
Xmin                    Xmax            Ymin                Ymax            Pasx                Pasy
    


                               

                           


Conclusion :

On peut constater sur cet exemple que pour les sauts à la verticale( avec un peu d'élan ) et allant d'une hauteur de 1 à 25 mètres une profondeur de 7 mètres d'eau est suffisante.
On atteint à l'arrivée au fond une vitesse de 3,2 km/h au bout d'un temps moyen de 3,7 s.




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