Profondeur pour un plongeon ou saut à la verticale , trajectoire dans l'air et vitesse dans l'eau
Publié le 22 juin 2024
Je me suis demandé récemment quelle était la profondeur d'eau minimale nécessaire pour effectuer un plongeon (ou un saut) à la verticale d'une hauteur H sans vitesse initiale dans un plan d'eau.
J'ai cherché sur le net mais je n'ai pas trouvé de formules analytique pour ce problème.
Peut être que j'ai pas cherché suffisamment longtemps.Toujours est-il que j'ai tenté de répondre à cette question
dans la page qui suit où je propose une formule analytique ainsi qu'un module de simulation numérique.
Formule
Exemples
tracé des
trajectoires y=f(x) dans l'air et vues
précédemment
plongeon sans vitesse suivant Oy (courbe noire) ,plongeon
avec une vitesse initiale suivant Oy(courbe bleue) abcisses
et ordonnées en mètre.
Exemple:Evolution de la
vitesse en m/s(courbe f(x) en trait noir) et de la
profondeur atteinte en mètre(courbe g(x) en trait bleu)
en fonction du
temps en seconde pour un plongeon d'une hauteur H= 10
m. La rentrée dans l'eau se fait à 50,4 km/h .Le freinage est assez brutal
et la vitesse tend de façon asymptotique et très
rapidement vers une vitesse limite(3.2 km/h).
Au bout de 2 secondes on constate sur le graphique que la vitesse est déjà bien ralentie ce qui correspond à environ 4,2 m d'eau.
En gros pour cette hauteur H=10 m , une profondeur de 4,2 à 6 mètres d'eau parait suffisante.
Calculons la profondeur h atteinte pour que la vitesse soit
égale à 1% seulement au dessus de la vitesse
limite pour différentes hauteur H de plongeon:
(V-Vlim)/Vlim=1%.
Cette vitesse est atteinte au bout du temps
t1=C/(A*B)^0.5+3.788=C/0.701 + 3.788
t1 est peu différent de 5*T=3,56 s.
H(m)
1
3
5
10
20
25
C
-0.216
-0.115
-0.086 -0.060
-0.041
-0.036
V1(m/s) 4.25
7.66
10
14 19.9
22.4(80,6km/h)
t1(s)
3.42
3.62
3.66 3.7
3.73
3.74
h(m)
4.4
5.2
5.5
6
6.4
6.7
En traçant h=f(ln(H)) on obtient une droite de
régression :
Donc pour un plongeon avec une vitesse
initiale et un angle de 45 ° :
On obtient
la profondeur atteinte en mètre h=0.743*Ln(H) +
3.87 où Ln est le logarithme néperien et H est la hauteur du plongeon (ou saut) par
rapport à la surface du plan d'eau en mètre.
On présente dans le cas général d'un plongeon avec vitesse initiale faisant un angle alpha avec l'horizontale la solution numérique
par la méthode de Runge Kutta.Les champs nécessaires au calcul sont ceux déjà renseignés et sont modifiables.
Simulation numérique(méthode de Runge Kutta)
Caractéristique du plongeur
Poids (kg) kg
Taille en cm cm
Dans
l'air :
Hauteur du plongeon (ou saut) Vitesse initiale Vo Angle
alpha de Vo avec l'horizontale en degré
m
km/h
Deplacement horizontal dans l air:
metre
Dans
l'eau :
Vitesse de
rentrée dans l'eau Angle
béta avec le plan d'eau
km/h
degré
Caracteristiques
Force de trainée :
Masse volumique de l'eau: Coefficient Cx
Surface de
référence en m2
kg/m3
Poussée
d'Archimède :
Volume du plongeur en litre litre
RESULTATS :
Temps
Vitesse
Profondeur verticale atteinte
seconde
km/h
mètre
Déplacement horizontal dans l eau
mètre
Graphique
:
Xmin
Xmax
Ymin
Ymax
Pasx
Pasy
Remarque:Dans le simulateur Cx est
le coefficient de trainée du corps dans l'eau et S la surface de référence ou "maître couple".
Le volume Vl du plongeur a été calculé en prenant pour densité d=1.062 kg/litre (Vl=m/d).
Conclusion:
On peut constater sur cet exemple que pour les sauts à la
verticale( avec un peu d'élan ) et allant d'une hauteur de 1
à 25 mètres une profondeur de 7 mètres d'eau
est suffisante.
On atteint à l'arrivée au fond une vitesse de 3,2
km/h au bout d'un temps moyen de 3,7 s.
Enfin rappelons que le plongeon dans l'eau n'est pas sans risque et peut exposer à des blessures:
voir le site(ici)
Il est très important en autre de vérifier que la profondeur d'eau est suffisante pour ne pas heurter violemment le fond avec la tête(risque de blessure voir noyade si on perd connaissance)
(voir). On a étudié la profondeur nécessaire pour un plongeon pour un adulte de 80 kg.Si on augmente le poids à 90 kg par exemple on pourrait penser qu'il faille une
profondeur plus grande.Ce qui ne semble pas être le cas car la corpulence n'est pas la même non plus.Si on fait le calcul avec les données suivantes(m=90 kg , Vl=84.7 litre
et S surface du "maître couple"=0.21 m^2 par exemple) on trouve même une profondeur légèrement plus faible.
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